Un jour deux hommes avaient l'un trois pains, l'autre deux. Ils allèrent se promener près d'une source. Lorsqu'ils furent arrivés en ce lieu, ils s'assirent pour manger ; un soldat passa, ils l'invitèrent. Celui-ci prit place à côté d'eux et mangea avec eux, chaque convive ayant part égale.

Lorsque tous les pains furent mangés, le soldat partit en leur laissant cinq pièces pour prix de son repas. De cet argent le premier prit trois pièces puisqu'il avait apporté trois pains, l'autre de son côté prit les deux pièces qui restaient pour prix de ses deux pains.

Ce partage a-t-il été bien fait ? Sinon proposer le partage qui semble le plus équitable, en justifiant la réponse.

(D'après Léonard de Pise : De duobus hominibus panes habentibus.)

On dispose de beaucoup de cubes blancs et de beaucoup de cubes noirs.

On décide, en les empilant les uns sur les autres, d’élever de simples tours dont la base est un cube.

La seule contrainte est que deux cubes noirs ne doivent jamais être en contact.

Exemple : Voici, vue en façade, une pile de cinq cubes :

Combien peut-on faire de tours différentes

• avec 1 cube ?

• avec 2 cubes ?

• avec 3 cubes ?

• avec 4 cubes ? (faites les dessins)

• avec 5 cubes ?

… et avec 20 cubes ?

D’après « La Magie du Carré » de R.Descombes

Tracer un circuit formant une boucle fermée qui passe par toutes les cases de la grille et qui ne se croise jamais sachant que :

• chaque fois que le circuit rencontre une case marquée d'un sens giratoire, on doit changer de direction (à 90°) ;
• on change alternativement de direction sur une case vide et sur un sens giratoire.

(Panoramath 4 ; Coupe Euromath)

 (Panoramath 4- Rallye mathématique d'Aquitaine)

Nicolas Chuquet est né à Paris au milieu du 15^e siècle. Il est surtout connu pour son ouvrage d'arithmétique « Triparty en la science des nombres » où on découvre qu'il est un des premiers grands algébristes français. Mais il est aussi l'auteur d'une « Géométrie » qui montre qu'il est un homme parfaitement instruit de la tradition géométrique du Moyen Âge. Il vous propose ici un petit problème, exprimé évidemment en vieux françois !

«  Il est un triangle .a.c.b. duquel .b.c. qui est sa base est 8, et autant sa cathetuse .a.g., dedans lequel a un triangle equilatere le majeur qui y puisse entrer, duquel sa base est .d.e. qui est contremont, et la pointe des deux ypothenuses est .g. ; assavoir moult de quant est la face du triangle contenu. »

Le dessin n'est là que pour placer les deux points.

Quelle est la question posée par Nicolas Chuquet et quelle en est la réponse (valeur exacte) ?

 
(Rallye de Paris 2006)

Léonard de Vinci au 15 ^e siècle s'est intéressé aux lunules. Il a complété la « collection » commencée par Hippocrate (au 5 ^e siècle avant JC). Parmi les 172 lunules qu'il a décrites et dessinées, l'une pourrait s'appeler l'arbalète de Léonard. Nous vous donnons son dessin, ses dimensions principales et des éléments de sa construction.

1) Un cercle de diamètre AB

2) Un cercle de rayon AB, de centre A

3) Un angle de 45°

4) Un rectangle de largeur AC et de longueur AB

5) Une symétrie axiale

Calculer l'aire de l'arbalète de Léonard.

(Rallye de Paris 2006, d'après les Malices du Kangourou)

On recherche un nombre de quatre chiffres, carré d'un entier et qui a deux chiffres identiques à gauche et deux chiffres identiques à droite.

(Rallye de Paris 2005)  

Les concurrents devaient se déplacer, de « folie » en « folie », dans le Parc de la Villette. Chaque « folie » porte un numéro.

Dans cette suite de Syracuse*, U_n = 1 et U₁ = 6144 ; le numéro de la folie où vous devez vous rendre est  U_n-9.

*Suite de Syracuse : Pour tout i > 0,

- Si U_i est pair alors  U_i+1 = U_i / 2

- Si U_i est impair alors U_i+1 = 3×U_i + 1

  A quelle numero de folie avez-vous rendez-vous ?

Cette suite et ses applications sont décrites dans l'exposition CIJM « Raconte-moi les graphes ».

(Rallye de Paris 2005)  

Chaque figure a été partagée en une partie rayée et une partie sablée. La surface (totale) rayée a-t-elle, sur chaque figure, même aire que la surface sablée ?